无套利原理在衍生品定价领域里有着及其重要的作用，使得衍生品理论价格可以用一个数学模型来表达，理解无套利原理在实际的操作中有利于理解和发现无风险套利机会。在资本市场中，无套利原理无处不在。如果资产A和资产B的属性相同，那么两者理应具有同样的价格从而使得资本市场无套利，然而，资本市场中资产的价格是交易出来的，在交易的过程中会经常导致同样属性的资产会有不同的价格表现从而形成了套利的机会，在套利的驱使下，同样属性不同价格的资产最终价格会趋于一致以至于无套利。同样属性的资产具有了不同的价格，说明市场便发生了错误，如果投资者此时能够利用这个市场错误，将赚取无风险收益。如果在一个市场中经常出现同样属性的资产具有不同的价格，即无风险套利的机会总是存在，那说明这个市场中资产的报价缺乏公平性、合理性，因此，可以从无风险套利的机会分析入手来判断市场中资产价格是否具有合理性。

    接下来，笔者首先阐述利用PCP平价进行无风险套利的原理和操作过程，分析50ETF期权市场存在无风险套利的机会，最后由此得出50ETF期权的定价是否具有合理性的结论。

    假设现在时刻为t，你买入执行价为K，到期日为T的一个Call和卖出同一个执行价、同一到期日的Put，这样在T时刻你将获得的回报为:

Max{S(T)-K}- Max{ K - S (T) }= S(T)-K

    有什么样的方式可以获得与上述组合同样的现金流回报呢？如果t时刻买入标的S，价格是S（t），持有到T时刻S资产的价格将为S(T)，在t时刻准备一笔现金以保证在T时刻可以支出K数量的现金，那么在T时刻获得的现金流将与上述组合的现金流相同，即：S(T)-K。可以看出，两个组合的现金流回报在T时刻相同意味着这两个组合应该在任意时刻具有同等的价值，在t时刻也不例外。

在t时刻，第一个组合的价值为c-p，持有资产S和到期支付现金K的第二个组合的价值为S（t）-Ke^-r(T-t)，其中r表示市场无风险利率，因此：

c-p=S（t）-Ke^-r(T-t)

    这即为PCP平价公式。如果两个组合在某一时刻的价格偏离将带来无风险套利的机会，考虑到交易成本的存在，这两个组合的价差要偏离足够远以至于价差超过交易成本，假设交易成本为Cost，组合的价差为Spread，你的获利Profit将是如下：

Profit=Spread-Cost

    在无套利原理下，PCP平价将是成立的，若市场偏离将存在套利机会。从PCP公式中又可以得出多种形式的套利机会，每种变形都给予了公式一定的含义，具体来看，可以分为复制标的、复制Call、复制Put以及复制相应的债券等方式的套利。

c-p=S（t）-Ke^-r(T-t)

S（t）= c-p+Ke^-r(T-t)

    从上式可以得出，持有Call多头、Put空头以及Ke^-r(T-t)持有数量的现金就等同于持有标的资产从而复制了标的资产。如果该组合的价格与标的价格偏离将带来无风险套利的机会。具体来说，如果组合的价格大于标的资产价格则可以卖出组合、买入标的资产进行无风险套利；否则，如果组合的价格低于标的资产价格则可以买入组合、卖出标的资产进行无风险套利。由于做空标的资产的限制，后一种情况操作不容易实现。对于前一种操作：卖出1张Call，买入同等数量、执行价格、到期日的Put，以无风险利率借入Ke^-r(T-t)数量的现金，同时买入标的资产。期初，组合的价值为p-c+ S（t）-Ke^-r(T-t)

，获得的现金流为c-p-S（t）+Ke^-r(T-t)＞0。在T时刻，根据执行价格与标的资产的价格不同分为以下两种情况进行讨论。

这种情形下，则Call出于实值被行权，Put处于虚值不行权，Call被行权以K的价格卖出标的资产获得现金流为K，同时将K现金流偿付期初接入的资金。期末，组合的价值为0，支出的现金流为0，获得的无风险收益为:

c-p-S（t）+Ke ^-rt，大于零。

情景1：到期时S(T)>=K
t时刻持有头寸	t时刻现金流	到期时（T）现金流（了结头寸）
卖出Call	C	(-)[S(T)-K]
买入Put	(-)p	0
买入标的资产	(-)S(t)	S(T)
现金	Ke-rt	(-)K
合计	c-p-S（t）+Ke-rt＞0	0
收益	[c-p-S（t）+Ke-rt] -0= c-p-S（T）+Ke-rt ＞0

    这种情形下，Call处于虚值不被行权，Put处于实值主动行权，Put行权以K的价格卖出标的带来的现金流为K，同时将K现金流偿付期初接入的资金。期末，组合的价值为0，支出的现金流为0，获得无风险收益为:

c-p-S（T）+Ke^-r(T-t)，大于零。

情景2：到期时S(T)<K
t时刻持有头寸	当前价值	到期时（T）价值 （了结头寸）
卖出Call	C	0(-)[S(T)-K]
买入Put	(-)p	K- S(T)
买入标的资产	(-)S(t)	S(T)
现金	Ke-rt	(-)K
合计	c-p-S（t）+Ke-rt＜0	0
收益	c-p-S（t）+Ke-rt] -0= c-p-S（T）+Ke-rt ＞0

 

c =p +S（t）-Ke^-r(T-t)

    可以看出，持有Put和标的资产同时以利率r借入现金这个组合相当于持有Call，如果组合的价格与Call的价格不相等的时候将带来套利的机会。具体来说，当组合的价格比Call的价格低时，可以买入组合、卖出Call进行无风险套利；当组合的价格比Call的价格高的时候，可以卖出组合、买入Call进行无风险套利。由于受融券限制不能方便做空标的资产，在操作中前者的操作运用较为普遍。经过分析可以得出在组合价格比Call价格低时通过买入组合、卖出Call在t时刻和到期T时刻的现金流变化情况与上述1中的套利现金流变化情况相同。

    将公式再次变形为： p=c -S（t）-Ke^-r(T-t)

    可以看出，持有Call和卖空标的资产同时以利率r存入现金的这个组合相当于持有Put，如果组合的价格与Put的价格不相等的时候就存在套利的机会。具体来说，当组合的价格比Put的价格低时，可以买入组合、卖出Put进行无风险套利；当组合的价格比Put的价格高的时候，可以卖出组合、买入Put进行无风险套利。由于受融券限制不能方便做空标的S，在操作中后者的操作运用较为普遍。经过分析可以得出在组合价格比Put价格高时通过卖出组合、买入Put在t时刻和到期T时刻的现金流变化情况与上述1中的套利现金流变化情况相同。

    综合上述分析，可以发现，无论是复制标的、复制Call和复制Put的无风险套利，只是复制的目标含义不一样，具体的操作手段都是一样的，由于融券的限制，在具体操作时就剩下一种操作手段了，即：当有套利的机会出现时，卖出Call、以利率r借入现金、买入标的资产、同时卖出Put。

Ke^-r(T-t)= p-c +S（t）

    从上式可知，问题将变得简单，当上式的右边小于左边时，只要买入Put、卖出Call同时买入标的资产就可以进行无风险套利。具体来看，在期初t时刻，买入Put、卖出Call同时买入标的资产这个操作为存在净支出，假设净支出为现金D。在期末T时刻，如果S(T) ≥K，Call被行权带来现金流K，同时将标的S卖给对方，Put不行权；如果S(T)<K，Call不被行权，Put行权将标的S卖给对方，获得现金流为K，所以，无论S(T)与K的大小，在T时刻总将获得收入K。从t时刻来看利润（不考虑货币时间价值），就得看K和D的大小了，如果K大于D将获得无风险收益。当无风险收益大于交易成本和时间成本，这样的操作将是可行的。

    无风险套利的机会在市场上不是随时都有，特别在交易活跃的品种中，这种机会就更少，因为资金是聪明的，一旦出现无风险套利的机会便会及时抓住，因此，无风险套利机会稍纵即逝。下面分别以50ETF期权上市以来近月各执行价格的期权一个月以来的收盘价数据为样本来分析和比较上市以来利用PCP平价进行无风险套利的机会。

    首先来看3月份各执行价格的期权无风险套利的机会，数据取从2016年3月25日到3月合约摘牌时间即2016年3月23日的收盘价作为样本，为了简单起见，在此不考虑手续费以及交易时滞的影响。

为了简单起见，对于期初买入Put、卖出Call同时买入标的资产的组合和期初卖出Put、买入Call同时卖出标的资产的组合这两种套利其年化无风险套利收益率都用如下公式来表示。

R=K-D/D*365/t*100

    r以%表示，一年按365天计算。其中，K表示持有组合至期末获得的收益或者支出。由前述分析得知，对于期初买入Put、卖出Call同时买入标的资产的组合来说，无论到期时标的资产价格高于执行价格还是低于执行价格，组合在到期时都能获得收入K；相反地，对于期初卖出Put、买入Call同时卖出标的资产的组合，无论到期时标的资产价格高于执行价格还是低于执行价格，组合在到期时都有支出K。D表示期初的支出或者收入。对于期初买入Put、卖出Call同时买入标的资产的组合来说，期初存在净支出；对于期初卖出Put、买入Call同时卖出标的资产的组合，期初存在净收入。t表示持有组合至到期的期限，以天为单位。

    从图2中可以看出，对于3月期权来说，大多数时间、大多数执行价格的期权无风险套利收益率介于-20%到20%之间，考虑到交易手续费和交易时滞的影响，认为处于这个区间的套利对无利可图。但是，无风险收益率处于20%以上和-20%以下的套利对也还不少，仔细观察还可以发现，无风险收益率在20%以上的套利对比-20%以下的套利对要少。之所以要少，原因在于持有标的资产50ETF容易，而卖空50ETF并不容易实现，因此对于买入Put、卖出Call和买入50ETF组合套利来说操作上很容易实现，而对于卖出Put、买入Call和融券卖空50ETF组合在操作上不容易实现。前者套利机会一旦出现即便被市场所捕捉，使得期权的价格趋于均衡，而后者套利机会即使存在由于不容易操作，所以这种套利机会一直存在却无法进行，现货市场卖空机制的限制也导致了期权价格的不均衡。另外从时间来看，当合约越接近到期时，这种无风险套利的机会也更多。

    表3是每天各个套利对的无风险收益率统计表，其中红色标注部分表示无风险收益率在20%以上的套利对所对应的无风险收益率，绿色标注部分表示无风险收益率在-20%以下的套利对所对应的无风险收益率。

 

    从表3可以看出，无风险收益率在20%以上的套利对总共存在17对，最高的年化无风险收益率竟然可以达到87.88%，无风险收益率在-20%以下的收益率存在152对，数量远远高出20%以上的套利对，最低的年化无风险收益率竟然可以达到-210.66%，这也意味着如果卖出Put、买入Call和卖空50ETF组合套利在样本数据内的最高年化无风险收益率可以高达210.66%。

下面来看看87.88%和210.66%的无风险收益率是怎样实现的。

 

 

    2016年3月22日2.65执行价格的Call价格为0.0001，Put价格为0.4684，50ETF价格为2.169，买入Put、卖出Call和买入50ETF的组合成本为0.4684-0.0001+2.169=2.6373，第二天到期时组合的收益为执行价格2.65，收益为2.65-2.6373=0.0127，以一张合约对应一万份标的来计算总共获利为127元/张，年化收益率为：0.0127/2.6373*365/28*100%=87.88%。

 

    2016年3月23日2.05执行价格的Call价格为0.1092，Put价格为0.0001，50ETF价格为2.171，卖出Put、买入Call和卖出50ETF的组合收入为0.0001-0.1092+2.171=2.0619，当天到期时组合需要支出执行价2.05，收益为0.0119，以一张合约对应一万份标的来计算总共获利为119元/张，年化收益率为119/2.0619*365/1*100%=210.66%。

    上面的分析是基于当前市场近月合约来分析的，接下来再来看看50ETF期权历史月份套利收益分析，数据取上市以来近月各执行价格到期前一个月的数据。